1/x+1/y的最小值 (23 19:54:29)1、设x＞0,y＞0,且x+2y=1,求1/x+1/y的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 19:35:36
1/x+1/y的最小值 (23 19:54:29)1、设x＞0,y＞0,且x+2y=1,求1/x+1/y的最小值
1/x+1/y的最小值 (23 19:54:29)
1、设x＞0,y＞0,且x+2y=1,求1/x+1/y的最小值
1/x+1/y的最小值 (23 19:54:29)1、设x＞0,y＞0,且x+2y=1,求1/x+1/y的最小值
(1/x+1/y)(x+2y)=3+2y/x+x/y>=3+2倍根号2.
1/x+1/y
=1*(1/x+1/y)
=(x+2y)(1/x+1/y)
=1+2+2y/x+x/y
=3+2y/x+x/y
[平均值不等式]
>=3+2√(2y/x*x/y)
=3+2√2
取等号时2y/x=x/y x=√2y
代入x+2y=1解得x=√2-1 y=(2-√2)/2
这种题目还是比较基础的,对于一些不能直接采用基本不等式的可以先将已知值的式子与待求式子相乘,通常要保证已知值为一,不为一的要先乘系数化为一
因为x+2y=1 则带入1/x+1/y
得(x+2y)/x+(x+2y)/y
化简得 3+2y/x+x/y
利用均值不等式得
3+2y/x+x/y>=3+[(2y/x)*(x/y)]^(1/2)
则其最小值为3+2*(2)^（1/2）
其中^（1/2）为开方
因为1=x+2y>=2sqrt(2xy);
所以：
sqrt(xy)<=sqrt(2）/4;
又因为1/x+1/y>=2/sqrt(xy);
所以：
sqrt(xy)>=2/(1/x+1/y);
则
sqrt(2)/4>=2/(1/x+1/y);
所以
1/x+1/y>=8/sqrt(2).
故 最小值为 8/sqrt(2).
注：sqrt 为二次根号
令s=1/x-1,t=1/y
因为x＞0,y＞0，且x+2y=1
所以0
于是1/x+1/y=s+1+t=s+1+2(s+1)/s=s+2/s+3>=2√2+3。
即1/x+1/y的最小值为2√2+3。