已知(x^2-1/根号x)^n的展开式中第三项与第五项的系数之比为3/14,则展开式中常数项是?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/03 05:17:33
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(x^2-x^(-1/2))^n的展开式为：
(x^2-x^(-1/2))^n=(x^2)^n+C(n,1)*(x^2)^(n-1)*(x^(-1/2))^1+...+C(n,k)*(x^2)^(n-k)*(x^(-1/2))^k
通项表达式为：T(k+1)=C(n,k)*(x^2)^(n-k)*(x^(-1/2))^k=C(n,k)*(x^(2n-5/2k)
∴第3项为：T3=C(n,2)*(x^2)^(n-2)*(x^(-1/2))^2
第5项为：T5=C(n,4)*(x^2)^(n-4)*(x^(-1/2))^4
二者系数比为：C(n,2)/C(n,4)=[n!/(2!(n-2)!)]/[n!/(4!(n-4)!)]=3/14
∴[4!(n-4)!/(2!(n-2)!)]=[4*3*2!(n-4)!/(2!(n-2)(n-3)(n-4)!)]=4*3/((n-2)(n-3))=3/14
即 (n-2)(n-3)=4*14 ,n^2-5n+6=56,n^2-5n-50=0
解得n=10 (n=-5舍弃)
由通项T(k+1)=C(n,k)*(x^(2n-5/2k)可知,常数项为C(n,k),其中2n-5/2k=0 (0≤k≤n)
方程2n-5/2k=0等效于4n=5k,
∵n=10,∴k=8
∴ 常数项为C(10,8)=C(10,2)=10*9/2!=45
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